Область значения функций в задачах егэ. Тема урока «Множество значений функции в задачах ЕГЭ Как указать множество значений функции

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х. (наз.гипербола)

2. у=х^2. (наз. парабола)

3.у=3х+7. (наз. прямая)

4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= .

1) у = cos 2х 2) у = sin 2 x 3) y = cos 2 x +2

4) y = 2 sin 4 x

6. Найдите множество значений функции y = tg 2 x на отрезке

7. Найдите сумму всех целых чисел, которые входят в область значений функции y = 4 cos 2 x – 7.

1) -25 2) 25 3) -22 4) 0

Вариант 2

y = 2 cos 5 x +3.

1) (2;3) 2) 3) (1;5) 4) .

2. Найдите область значения функции

1) 3) (-∞;∞) 4) .

3. Укажите наименьшее число из области значений функции

1) 4 2) -3 3) 1 4) -7

4. Укажите наибольшее целое из области значений функции

1) 2 2) 13 3) 12 4) -2

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок [-5;5].

1) y = sin 5x 2) y = 5 cos 5x 3) y = cos (-5x)

4) y = sin 5x + 5

6. Найдите множество значений функции
на отрезке

7. Найдите произведение всех целых чисел, которые входят в область значений функции у = 5 – 3 sin 2 x .

1) 120 2) 14 3) -15 4) 0

Вариант 3
1. Укажите множество значений функции y = sin 3 x + 5.

1) (-4;6) 2) 3) [-1;5) 4) (0;6)

1) 2) (0;3) 3) (1;3) 4) [-1;3)

3. Укажите наименьшее число из области значений функции у = 5 tg 2 x +2?

1) 5 2) 0 3) 7 4) 2

1) -1 2) -2,7 3) -2,3 4)-3

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок

[-17;-13].

1) y = 5 sin x – 8 3) y = -cos x +15

2) y = 2 cos x – 15 4) y = 3 sin x +10

6. Укажите наименьшее натуральное число, которое не входит в множество значений функции

1) 2 2) 4 3) 15 4) 6

7. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений функции

y = 2 cos 3 x +10?

1) 2 2) 3 3) 4 5) 5

Вариант 4

1) 2) 4) (-7;-6)

2. Найдите область значений функции

1) (1;5) 2) 3) (4;6) 4) [-6;-4]

3. Укажите наибольшее число из области значений функции y = -3 ctg 2 x +7.

1) 10 2) 4 3) 7 4) -3

4. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции

1) -6 2) -5 3) -10 4) -7

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок .

6. Укажите наибольшее целое отрицательное число, которое не входит в область значений функции

1) -1 2) -25 3) -6 4) -2

7. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений функции

1) 11 2) 3 3) 5 4) 4

Вариант 5

1. Укажите множество значений функции у = 2 - sin 5 x .

1) (2;5) 2) 3) (1;3) 4) [-3;7]

2. Найдите область значений функции

1) [-8;-6] 2) [-8;-6) 3) (-8;-6) 4)

3. Укажите наименьшее целое число из области значений функции

y = 3 + sin 2 2 x .

1) 0 2) 1 3) 3 4) 4

4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции

1) 128 2) 10,5 3) 3 4) -235

5. Укажите функцию, множеством значений которой является отрезок [-9;15].

6. Найдите сумму целых чисел, входящих в множество значений функции

1) 0 2) 7 3) 18 4) 22

7. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке

1) 0,5 2) 1,5 3) 0 4) 2

Вариант 6

1. Укажите отрезок, соответствующий множеству значений функции

1) 2) (-2;-1) 3) (0;1) 4) [-6;-4]

2. Найдите область значений функции

3. Укажите наибольшее число из области значений функции

1) 5 2) -6 3) -3 4) 4

4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции

1) 5 2) 0 3) -3 4) 4

5. Укажите функцию, множество значений которой является отрезок .

1) у = 15 – 7 cos 2x 3) y = 7 cos 2x + 3

2) y = 5 cos 4 x 4) y = - tg 2 x + 1

6. Найдите произведение целых чисел, входящих в множество значений

y = 3,8 – 1,4 sin 3 x .

1) 17 2) 12 3) 0 4) 60

7. Найдите множество значений функции
на промежутке

1) (3;4) 2) 3)

Вариант 7

2. Найдите наименьшее целое значение функции

1) 2 2) 0 3) -3 4) -4

1) 0 2) 2 3) 4 4) 6

4. При каких значениях а уравнение sin (3 x -4)+5= a разрешимо?

1) 2) 3) (4;6) 4) (-6;4]

sin 2 2 x – 2.

1) [-3;-2] 2) [-1;0] 3) [-4;0] 4) [-3;-1]

на промежутке

2) 0 3) 1

y = 4 sin (x 4 ) -2?

1) 8 2) 9 3) 7 4) 10

Вариант 8

1. Найдите множество значений функции y = arctg x - 2π.

2. Найдите наибольшее значение функции

1) 1,75 2) 0 3) 2,25 4) -1,75

3. Какое из следующих чисел может быть значением функции

1) -4 2) -2 3) 0 4) 2

4. При каких значениях р уравнение -2+ cos (4 x -1)= p имеет корни?

1) [-3;-1] 2) [-3;-1) 3) (-3;1] 4) (-3;-1)

5. Найдите множество значений функции y = -2 tg 2 x + 1.

1) [-1;3] 2) (-∞;1] 3) (-∞;∞) 4) [-1;+∞)

на промежутке
.

1) 0 2) 1 3) -1 4) 3

7. Сколько целых чисел принадлежит области значений функции

1) 4 2) 3 3) 5 4) 2

Вариант 9

1. Найдите область значений функции

2. Найдите наибольшее целое значение функции

1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

3. Какое из следующих чисел может быть значением функции

1) 0 2) 3 3) 6 4) 9

k уравнение – k + sin (2 x -1) = 2 разрешимо?

1) 2) (4;6) 3) (-3;-1) 4) [-3;-1]

5. Найдите множество значений функции у = - cos 2 3 x + 4.

1) 2) 3) 4)

6. Укажите наименьшее значение функции
на промежутке

2) -1 3) 0 4) 1

7. Найдите, сколько целых чисел входит в область значений функции у = 12 cos 3 x +5 sin 3 x .

1) 13 2) 27 3) 26 4) 14

Вариант 10

1. Найдите область значений функции

2. Найдите наименьшее значение функции

1) 3,5 2) 0 3) 2,5 4) -3,5

3. Какое из следующих чисел может быть значением функции

1) -4 2) -1 3) 3 4) 7

4. При каких значениях параметра m уравнение cos (3 x + 2)- m = 5 имеет корни?

1) [-6;-4] 2) (-6;-4) 3) (-4;3) 4) [-6;-5]

5. Найдите множество значений функции у = -2 ctg 2 3 x + 7.

1) (-∞;5] 2) (-∞;1] 3) (-∞;0] 4) (-∞;7]

6. Укажите наибольшее значение функции
на промежутке

2) 0 3) 2 4) 1

7. Найдите, сколько целых чисел входит в область значений функции

1) 30 2) 35 3) 17 4) 7

Множество значений показательной и логарифмической функций

Вариант 1

1. Найдите область значений функции

1) 4) (-∞;3)

2. Укажите множество значений функции

1) (-∞;7) 2) (-∞;-7) 3)(7;∞) 4) (-∞;7]

1) 0 2) 4 3) -3 4) -4

1) 15 2) 20 3) 43 4) 28

1) (0;-2) 2) (0;2) 3) (-∞;+∞) 4) [-2;0)

6. Укажите наименьшее целое значение функции

1) 1 2) -1 3) 0 4) -5

7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток (1;∞).

Вариант 2

1. Укажите множество значений функции

1) [-1;∞) 2)(-1;∞) 3) (3;∞) 4) 4) [-3;∞)

2. Найдите область значений функции

1) (-4;∞) 2) (4;∞) 3) (-∞;4] 4) 4) (-∞;4)

3. Укажите наименьшее целое значение функции

1) -12 2) -11 3) -10 4) -15

4. Укажите число, не принадлежащее множеству значений фунукции

1) -42 2) 3 3) 1 4) -20

5. Укажите множество значений функции

1) (-∞;0) 2) (0;∞) 3) (-∞;∞) 4) [-2;2]

6. Укажите наибольшее целое значение функции

1) 10 2) 3 3) 9 4) 2

7. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток

(-∞;13).

Вариант 5

1. Укажите наименьшее целое значение функции

1) 0 2) -1 3) -2 4) -3

2. Какое из следующих чисел входит в область значений функции

1) -3 2) -4 3) 5 4) 0

1) (-∞;2] 2) 2) [-1;1] 3) (-1;1) 4) (0;∞)

6. Найдите, на каком отрезке функция
принимает наибольшее значение, равное 2, и наименьшее значение, равное -3.

1) 2) (-5;2) 3) 4) (-3;2)

на промежутке

1) -1/2 2) 5 3) 2 4) 4

8. Найдите сумму всех натуральных чисел, не входящих в множеств значений функции

1) 3 2) 6 3) 10 4) 8

Вариант 6

1. Укажите наибольшее целое значение функции

1) 2 2) 4 3) 3 4) 5

2. Какое из следующих чисел не входит в область значений функции

1) 35 2) 7, 28 3) 7, 85 4) 128

3. Укажите множество значений функции

1) [-1/3;0] 2) (-3;2/5) 3) (0;1/3) 4) (0;2/5)

4. Найдите все точки на ОУ, являющиеся проекциями точек графика функции

1) (0;∞) 2) 2) (-3;2) 3) [ log 2 3;2] 4) (log 2 3;2)

6. Найдите на каком отрезке функция
принимает наименьшее значение, равное -2, и наибольшее значение, равное 4.

1) [-17/9;79] 2) [-1,5;82] 3) (-11/9;79] 4) (-17/9;79)

7. Укажите наибольшее значение функции
на промежутке

[-0,9; 0]. 2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

4. Сколько целых значений принимает функция

Ответы

Часть 1

Множество значений показательной и логарифмической функции

Часть 2

Сегодня на уроке мы обратимся к одному из основных понятий математики - понятию функции; более детально рассмотрим одно из свойств функции - множество ее значений.

Ход урока

Учитель. Решая задачи, мы замечаем, что подчас именно нахождение множества значений функции ставит нас в затруднительные ситуации. Почему? Казалось бы, изучая функцию с 7-го класса, мы знаем о ней достаточно много. Поэтому у нас есть все основания сделать упреждающий ход. Давайте сегодня сами «поиграем» с множеством значений функции, чтобы снять многие вопросы этой темы на предстоящем экзамене.

Множества значений элементарных функций

Учитель. Для начала необходимо повторить графики, уравнения и множества значений основных элементарных функций на всей области определения.

На экран проецируются графики функций: линейной, квадратичной, дробно-рациональной, тригонометрических, показательной и логарифмической, для каждой из них устно определяется множество значений. Обратите внимание учащихся на то, что у линейной функции E(f) = R или одно число, у дробно-линейной

Это наша азбука. Присоединив к ней наши знания о преобразованиях графиков: параллельный перенос, растяжение, сжатие, отражение, мы сможем решить задачи первой части ЕГЭ и даже чуть сложнее. Проверим это.

Самостоятельная работа

Условия задач и системы координат напечатаны для каждого ученика .

1. Найдите множество значений функции на всей области определения:

а) y = 3 sin х ;
б) y = 7 – 2 х ;
в) y = –arccos (x + 5):
г) y = | arctg x |;
д)

2. Найдите множество значений функции y = x 2 на промежутке J , если:

а) J = ;
б) J = [–1; 5).

3. Задайте функцию аналитически (уравнением), если множество ее значений:

1) E (f (x )) = (–∞ ; 2] и f (x ) - функция

а) квадратичная,
б) логарифмическая,
в) показательная;

2) E (f (x )) = R \{7}.

При обсуждении задания 2 самостоятельной работы обратите внимание учащихся на то, что, в случае монотонности и непрерывности функции y = f (x ) на заданном промежутке [a ; b ], множество ее значений - промежуток , концами которого являются значения f (a ) и f (b ).

Варианты ответов к заданию 3.

1.
а) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y = a (x – x в) 2 + 2 при а < 0.

б) y = –| log 8 x | + 2,

в) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
а) б)

в) y = 12 – 5x , где x ≠ 1 .

Нахождение множества значений функции с помощью производной

Учитель. В 10-м классе мы знакомились с алгоритмом нахождения экстремумов непрерывной на отрезке функции и отыскания ее множества значений, не опираясь на график функции. Вспомните, как мы это делали? (С помощью производной .) Давайте вспомним этот алгоритм.

1. Убедиться, что функция y = f (x ) определена и непрерывна на отрезке J = [a ; b ]. 2. Найти значения функции на концах отрезка: f(a) и f(b). Замечание . Если мы знаем, что функция непрерывна и монотонна на J , то можно сразу дать ответ: E (f ) = [f (a ); f (b )] или E (f ) = [f (b ); f (а )]. 3. Найти производную, а затем критические точки x k J . 4. Найти значения функции в критических точках f (x k ). 5. Сравнить значения функции f (a ), f (b ) и f (x k ), выбрать наибольшее и наименьшее значения функции и дать ответ: E (f )= [f наим; f наиб ].

Задачи на применение данного алгоритма встречаются в вариантах ЕГЭ. Так, например, в 2008 году была предложена такая задача. Вам предстоит решить ее дома .

Задание С1. Найдите наибольшее значение функции

f (x ) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

при | x + 1| ≤ 3.

Условия домашних задач распечатаны для каждого ученика .

Нахождение множества значений сложной функции

Учитель. Основную часть нашего урока составят нестандартные задачи, содержащие сложные функции, производные от которых являются очень сложными выражениями. Да и графики этих функций нам неизвестны. Поэтому для решения мы будем использовать определение сложной функции, то есть зависимость между переменными в порядке их вложенности в данную функцию, и оценку их области значений (промежутка изменения их значений). Задачи такого вида встречаются во второй части ЕГЭ. Обратимся к примерам.

Задание 1. Для функций y = f (x ) и y = g (x ) записать сложную функцию y = f (g (x )) и найти ее множество значений:

а) f (x ) = –x 2 + 2x + 3, g (x ) = sin x ;
б) f (x ) = –x 2 + 2x + 3, g (x ) = log 7 x ;
в) g (x ) = x 2 + 1;
г)

Решение. а) Сложная функция имеет вид: y = –sin 2 x + 2sin x + 3.

Вводя промежуточный аргумент t , мы можем записать эту функцию так:

y = –t 2 + 2t + 3, где t = sin x .

У внутренней функции t = sin x аргумент принимает любые значения, а множество ее значений - отрезок [–1; 1].

Таким образом, для внешней функции y = –t 2 +2t + 3 мы узнали промежуток изменения значений ее аргумента t : t [–1; 1]. Обратимся к графику функции y = –t 2 +2t + 3.

Замечаем, что квадратичная функция при t [–1; 1] принимает наименьшее и наибольшее значения на его концах: y наим = y (–1) = 0 и y наиб = y (1) = 4. А так как эта функция непрерывна на отрезке [–1; 1], то она принимает и все значения между ними.

Ответ : y .

б) Композиция этих функций приводит нас к сложной функции которая после введения промежуточного аргумента, может быть представлена так:

y = –t 2 + 2t + 3, где t = log 7 x ,

У функции t = log 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

У функции y = –t 2 + 2t + 3 (см. график) аргумент t принимает любые значения, а сама квадратичная функция принимает все значения не больше 4.

Ответ : y (–∞ ; 4].

в) Сложная функция имеет следующий вид:

Вводя промежуточный аргумент, получаем:

где t = x 2 + 1.

Так как для внутренней функции x R , а t .

Ответ : y (0; 3].

г) Композиция двух данных функций дает нам сложную функцию

которая может быть записана как

Заметим, что

Значит, при

где k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Нарисовав график функции видим, что при этих значениях t

y (–∞ ; –4] c ;

б) на всей области определения.

Решение. Вначале исследуем данную функцию на монотонность. Функция t = arcctg x - непрерывная и убывающая на R и множество ее значений (0; π). Функция y = log 5 t определена на промежутке (0; π), непрерывна и возрастает на нем. Значит, данная сложная функция убывает на множестве R . И она, как композиция двух непрерывных функций, будет непрерывна на R .

Решим задачу «а».

Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то она непрерывна и на любой ее части, в частности, на данном отрезке. А тогда она на этом отрезке имеет наименьшее и наибольшее значения и принимает все значения между ними:

f (4) = log 5 arcctg 4.

Какое из полученных значений больше? Почему? И каким же будет множество значений?

Ответ:

Решим задачу «б».

Ответ: у (–∞ ; log 5 π) на всей области определения.

Задача с параметром

Теперь попробуем составить и решить несложное уравнение с параметром вида f (x ) = a , где f (x ) - та же функция, что и в задании 4.

Задание 5. Определите количество корней уравнения log 5 (arcctg x ) = а для каждого значения параметра а .

Решение. Как мы уже показали в задании 4, функция у = log 5 (arcctg x ) - убывает и непрерывна на R и принимает значения меньше log 5 π. Этих сведений достаточно, чтобы дать ответ.

Ответ: если а < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

если а ≥ log 5 π, то корней нет.

Учитель. Сегодня мы рассмотрели задачи, связанные с нахождением множества значений функции. На этом пути мы открыли для себя новый метод решения уравнений и неравенств - метод оценки, поэтому нахождение множества значений функции стало средством решения задач более высокого уровня. При этом мы увидели, как конструируются такие задачи и как свойства монотонности функции облегчают их решение.

И мне хочется надеяться, что та логика, которая связала рассмотренные сегодня задачи, вас поразила или хотя бы удивила. Иначе и быть не может: восхождение на новую вершину никого не оставляет равнодушным! Мы замечаем и ценим красивые картины, скульптуры и т.д. Но и в математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая - красота логики. Математики говорят, что красивое решение - это, как правило, правильное решение, и это не просто фраза. Теперь Вам самим предстоит находить такие решения и один из путей к ним мы указали сегодня. Удачи вам! И помните: дорогу осилит идущий!

Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.

В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.

Определение.

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех .

Определение.

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .

Область значений функции обозначают как E(f) .

Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с переменной x для выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x) . Область допустимых значений переменной x для выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x) .

На рисунке приведены несколько примеров.

Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.

Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), интервалом (четвертый случай), открытым лучом (пятый случай), объединением (шестой случай) и т.п.

Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.

Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке .

Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений . Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке будет отрезок . Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке .

Для примера найдем область значений функции арксинуса.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx .

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1] . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1) , то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1 , а наибольшее при x = 1 .

Мы получили область значений функции арксинуса .

Пример.

Найдите множество значений функции на отрезке .

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку :

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках :

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок .

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) промежутках (a; b) , .

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

Пример.

Определите множество значений функции на интервале (-2; 2) .

Решение.

Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2) :

Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.

есть соответствующий максимум функции.

Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при x стремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:

Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0 ), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .

Пример.

Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале .

Решение.

Производная функции тангенса на интервале положительна , что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:

Таким образом, при изменении аргумента от к значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел .

Пример.

Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx .

Решение.

Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента . На этом интервале производная положительна , это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x стремящемся к плюс бесконечности:

Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.

Пример.

Решение.

Эта функция определена для всех действительных значений x . Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.

Следовательно, функция убывает при , возрастает при , x = 0 - точка максимума, соответствующий максимум функции.

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.

Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.

Посмотрите на схематический рисунок.

Теперь хорошо видно, что область значений функции есть .

Нахождение множества значений функции y = f(x) на промежутках требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся.

Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.

Пример.

Найдите область значений функции .

Решение.

Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, .

Сначала найдем множество значений функции на открытом луче .

Производная функции отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем.

Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений . Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.

Действуем аналогично для открытого луча .

На этом промежутке функция тоже убывает.

Множество значений функции на этом промежутке есть множество .

Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и .

Графическая иллюстрация.

Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.

Пример.

Найдите область значений функции синуса y = sinx .

Решение.

Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок и определим множество значений на нем.

Отрезку принадлежат две точки экстремума и .

Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:

Следовательно, .

Пример.

Найдите область значения функции .

Решение.

Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, или в другой записи . Функция может быть получена из arccosx сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, . Функция получается из растяжением втрое вдоль оси Оy , то есть, . И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству

Таким образом, искомая область значений есть .

Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).

Пример.

Определите область значений функции .

Решение.

Запишем исходную функцию в виде . Областью значений степенной функции является промежуток . То есть, . Тогда

Следовательно, .

Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить 3 слева значения функции стремятся к минус единице, а при стремлении x к 3 справа значения функции стремятся к плюс бесконечности.

Таким образом, область определения функции разбиваем на три промежутка .

На промежутке имеем функцию . Так как , то

Таким образом, множество значений исходной функции на промежутке есть [-6;2] .

На полуинтервале имеем постоянную функцию y = -1 . То есть, множество значений исходной функции на промежутке состоит из единственного элемента .

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Выясним промежутки возрастания и убывания функции.

Производная обращается в ноль при x=-1 и x=3 . Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной на полученных интервалах.

Функция убывает на , возрастает на [-1; 3] , x=-1 точка минимума, x=3 точка максимума.

Вычислим соответствующие минимум и максимум функции:

Проверим поведение функции на бесконечности:

Второй предел вычисляли по .

Сделаем схематичный чертеж.

При изменении аргумента от минус бесконечности до -1 значения функции убывают от плюс бесконечности до -2e , при изменении аргумента от -1 до 3 значения функции возрастают от -2e до , при изменении аргумента от 3 до плюс бесконечности значения функции убывают от до нуля, но нуля не достигают.